プラトン立体と アルキメデス立体の最密充填の問題を解く

 粒子の高密度充填の幾何学的知見に基づくモデルは、液体、ガラス、結晶、粉粒体、生細胞など、多くの系の構造を説明するのに役立つ。

 この分野における以前の研究のほとんどは、球状粒子に注目しているが、このような理想的な形状の場合ですら、問題は非常に難しく、球の最密充填に関するケプラー予想が証明されたのは、2005年になってからである。18の古典的幾何形状、すなわちプラトン立体やアルキメデス立体は古代ギリシャ時代から知られている形だが、それらの最密充填配置については、ほとんどわかっていない。



 今回、S TorquatoとY Jiaoは、5つのプラトン立体(四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体)と13のアルキメデス多面体の既知の最密充填体について報告している。

これらの立体の対称性は、基本的な充填配置を決定するうえで極めて重要であり、中心対称性をもつプラトン立体とアルキメデス立体の最密充填は、対応する最密(ブラヴェ)格子充填で与えられると予想される(Letter p.876, N&V p.801, www.nature.com/podcast)。

nature
http://www.nature.com/nature/journal/v460/n7257/edsumm/e090813-01.html





3 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:13:03 ID:Z3HLvdv8
お前は何を言っているんだ?


4 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:16:09 ID:MxKNle+V
一見簡単そうなのに分かってなかったんだな。
いや全く分かってないというよりは、「この配置が最密充填だと証明できない」ってことだろうけど。


5 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:17:06 ID:TaxawEIx
面心立方格子、六方最密なんとかしか知りません。


7 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:20:53 ID:NfuRp7nm
さっぱり分からん。

9 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:26:43 ID:IkOFOKnI
>>7
極端に簡略化しちゃうと、「どう入れれば箱にたくさん入るの?」って事…違ってる?


12 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:34:55 ID:RqrFOkQX
>>9
「これ以上は絶対に入りません」 というのを証明すること。


34 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 12:45:26 ID:OUzE2ZqJ
>>12
「ら らめぇっ、もう入らないよぉっ! いっぱいなの…」



8 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:23:41 ID:RIKcs3Dw
そういえば、むしろなんで最密じゃない体心立方格子の結晶があるんだろう。
どうやったら面心よりポテンシャル低くなるんだ?

18 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 01:08:31 ID:nk5uriBm
>>8
他の金属はs軌道しか結合に関わってないけど、アルカリ金属の一部は2p軌道が結合に関わっててあーたらこーたららしい。ちゃんと波動関数解かないとその辺は分からない。直感的な理解は無理な領域。


45 :名無しのひみつ:2009/08/17(月) 02:23:36 ID:7LlDM2sE
>>8
古典的には大きい球体(陰イオン)と小さい球体(陽イオン)の充填で考えられて、2つの球体の大きさが近いと単一半径の球の最密充填の面心立方構造や六方最密構造になるけど、2つの球体の大きさがかなり違うと大きい球体(陰イオン)の充填の隙間に小さい球体(陽イオン)が入りこむ方がもっと充填度が上がることになって体心立方構造になるんじゃなかったかな。

単一半径の球体とみなせる金属結晶だと、体心立方構造をとるのは確かポロニウムだけだったと思う。
(なぜかは知らないが)



11 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:33:35 ID:C4GGcW3H
高校の化学で先生が未解決問題だって教えてくれたな。
パッと見明らかなんだがな、素朴に考えると変分法かなにかでやるんだろうが…


13 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:36:21 ID:t4bGpyFe
だ、誰か、ガンダムで…


14 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:41:59 ID:rWyPxd1C
ラミエルたんがいるな。

15 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 00:45:23 ID:hGF5NCce
>>14
ホンモノだったら困るけど、動くから。



21 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 02:43:26 ID:gRk/xKwU
この問題って、何十年も前にM.C.エッシャーが解析してなかったか?
1295985242.jpg


22 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 04:02:59 ID:M29MN33L
フェルマーの最終定理」の本で、まだ未解決問題として出てたやつ?


23 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 04:22:29 ID:Gf1f0k6V
有限の空間と、無限の空間で最密充填構造って同じなの?違うの?


24 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 04:32:06 ID:hGu7JQGG
なんだ、古代ギリシアから幾何学は進歩してなかったのか。


25 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 09:03:13 ID:ohUFTIPO
最密充填の問題は、場合分けだけして後はコンピュータの力技で証明、みたいな方法が有効で、コンピュータによる証明は証明か?という命題の典型例として聞いたことがあるけど実際は、全然、解けてないんだな。

29 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 10:00:52 ID:zHoGDiJq
>>25
地図塗り分けじゃぬ?


30 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 10:12:30 ID:ohUFTIPO
>>29
Halesのケプラー予想に対する証明。



26 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 09:15:43 ID:pcxGYo4L
これ証明しても、「非ユークリッド系だったらどうなる?」ってなると、また1000年くらい使いまわせる問題。


27 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 09:33:05 ID:2dNBXAZ7
こんなに分かってない問題だったのか。
粉流体の挙動を研究してる人を何人か知ってるけど、球しかやってないなそういえば…


31 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 10:13:05 ID:aHY8AVn1
「誤爆じゃね?」ってレスをしてしまいそうなスレ。


33 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 11:45:32 ID:hQ6Vu8Mn
レジのおばちゃんに聞け、ってのを証明すれば良いのですね。


35 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 13:13:41 ID:NCuhaf0S
多次元球の最密充填が、最も基本的な問題じゃなかったかな?


36 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 13:20:59 ID:kmGhpiAr
袋で買ってきた唐辛子の粉を瓶に移す場合、瓶がもう一杯になって溢れかけてるのに袋にもうちょっとだけ粉が残ってる時瓶底をテーブルにゴンゴンするともうちょっと入ってウマーって事ですか?

39 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 13:58:34 ID:9c7Nrmt1
>>36
大抵の形であれば、瓶をトントンとやっていくとやがて最密充填の配置に自動的になるらしいね。



37 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 13:46:09 ID:Y46TLZP0
数学で有名な佐藤郁郎って人いるよね?あの人は、この手の分野に詳しそうだけど、難問を解いたという話は聞かないな…日本人は論理的に詰める事は苦手みたいだな。


38 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 13:56:54 ID:Y46TLZP0
多面体と空間充填形
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/tamen.htm


41 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 21:33:44 ID:HSm5CNKV
一週間マスターベーションしていない俺のアルキペニスは、最密充填されているが・・・


42 :名無しのひみつ:2009/08/14(金) 23:04:34 ID:UL4sxNfe
機械で計算するのがてっとり早いよ、ひたすら計算し続ければよし。


44 :名無しのひみつ:2009/08/15(土) 17:19:14 ID:e9hf9KEB
図のP6はA1の写植ミスじゃないのかな?


46 :名無しのひみつ:2009/08/19(水) 13:37:31 ID:BI1XwNEE
ポロニウムは単純立方格子だし、体心立方格子の単金属なんて結構あるし。


47 :名無しのひみつ:2009/08/19(水) 14:11:41 ID:RysfeILx
ビンに飴玉何個入るか調べるの飽きたから、こんどは氷砂糖何個入るか調べてみたってこと?

48 :名無しのひみつ:2009/08/19(水) 15:39:50 ID:iEQh5zYr
金平糖がお薦めだな、あの出っ張りはウィルスに応用出来るよ。



49 :名無しのひみつ:2009/08/24(月) 23:04:59 ID:rZEvj/d+
詰めれば入れたはずだ > 北斗神拳の人


51 :名無しのひみつ:2009/08/24(月) 23:25:59 ID:PwO3xEBu
そもそも何が楽しくて、立体にプラントンだのアルキメデスだのって名前をつけているんだ?

52 :名無しのひみつ:2009/08/24(月) 23:52:24 ID:CeZXcbam
>>51
お前の名前を付けた親は、楽しんで付けたわけじゃないだろ?



54 :名無しのひみつ:2009/08/29(土) 01:45:30 ID:C+Vy/kk7
原子も単純な球とは言えないし、細胞ならもっといびつな形をしている。大きさも粒径組成も均一ではない。
これらを全部理論的に扱えないのなら、最密充填を解析的に解く意味はない。

55 :名無しのひみつ:2009/08/29(土) 10:26:12 ID:o/oadmyK
>>54
原子の形状ってわかってるの?



56 :名無しのひみつ:2009/08/29(土) 10:54:12 ID:jA39mYh1
要は電子雲だな。


57 :名無しのひみつ:2009/08/29(土) 12:13:25 ID:o/oadmyK
電子雲ってのは電子の確率分布を表した模式図でしょう。
あれと、電子顕微鏡で見たときの丸っこい形が一緒という保証はあるの?

59 :名無しのひみつ:2009/08/31(月) 14:22:11 ID:Z+x7AeM5
>>57
形ってのは相互作用する領域の形状だろ。


61 :名無しのひみつ:2009/09/02(水) 20:58:07 ID:O4Y93umF
>>57
電子顕微鏡で覗いたら、元素は本当に教科書にあるようなまん丸の形なのですか?
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1422823494


62 :名無しのひみつ:2009/09/02(水) 21:14:58 ID:TrGvX2zQ
>>59
相互作用しちゃったら電子の位置が確定してしまうので、電子存在確率を表す雲のような球体ではなく、点になってしまうのではないですか?



58 :名無しのひみつ:2009/08/29(土) 12:43:23 ID:C+Vy/kk7
決定論的には表現できないというのが、量子力学の立場。不確定性原理。決定論的にすべてを解釈できる系というのは、自然界にはほとんど存在しないから、複雑すぎる解析解が数値解に劣る可能性は高い。

NS方程式の一般解とかなら、実用性は高いと思うけどね。


60 :名無しのひみつ:2009/08/31(月) 15:52:17 ID:43YNX/yp
電子が分布しうる範囲のことでは?
相互作用で決めようとすると、どのぐらいのcut-off potentialにするかで形状が違ってくる。

63 :名無しのひみつ:2009/09/02(水) 21:19:11 ID:aMmkeZpN
>>60
それ無限大じゃねーの?いずれにせよ程度問題だろ。



64 :名無しのひみつ:2009/09/02(水) 21:22:06 ID:6efCQpVt
実寸サイズの立方体作って、その中に溢れる様に水入れればいいだけじゃないの?


65 :名無しのひみつ:2009/09/02(水) 22:01:16 ID:UC8rxGXD
日本人にやらせればいくらでも詰め込めるよ?彼らは毎朝電車で鍛えてるからね。


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コメント

名無し隊員さん
誰かテトリスで例えてくれ

名無し隊員さん
設置後に形が崩れて隙間に埋まっていくタイプのテトリスだと思えばいいんじゃね?

アテナイ人
プラトンといえばソクラテスしか思い浮かばない

 
俺馬鹿なんで、粉砕して注ぐタイプだわ

名無し隊員さん
物理と数学を混同してソーカルしてるやつがいるな

名無し隊員さん
そんなことより、また新たなカテゴリーが増えたぞ!

幾何学 (1)

名無し隊員さん
プラトン立体は正多面体
アルキメデス立体は準正多面体
どっちの方が数学では一般的な言い方なんだ?

名無し隊員さん
実験的には大体どんな感じで入ると結構詰まる位まではわかってるんだけどな
これで紛体の詰め方が進歩するかもしれない

VIPPERな名無しさん
よく分からないんだが
詰め込む物の基準(原子だか分子だか細胞)がはっきりして
ないんじゃ解きようが無くない?
何を問題にしてるんだ?

    
わけわかめ

名無し隊員さん
タイトルで音を上げたのも久しぶりだ。

名無し隊員さん
ケプラー予想が証明されてたことすら知らなかったわ…

名無し隊員さん
よく分かんないけどパズルボブル?

名無し隊員さん
パチンコの玉1箱1800個以上どうしても入らない。

VIPPERな名無しさん
バルキスの定理を使えばイチコロだろ

名無し隊員さん
ハハ、サッカーボールがいっぱいだ……

名無し隊員さん
問題がどうこうと言う前に、タイトル読んで降参した。

えれえれ
あのなんたら立体に特定の原子1種をぎゅうぎゅうにつめたら何個入るでしょうか?
又,そのときの原子の入る個数を原子の種類と立体によっての関係によっての最適解を求めよ.
又,その最適解を求めるかわりにコンピュータによって何個入るかを原子一つ一つの置き方から求めてみています.この計算に人類は何年も費やしています.
って話だと思ったけどあってる?

VIPPERな名無しさん
まぁ、「あらゆる」詰め方の中で、一番密度が高くなる詰め方は何かって問題だから難しいんだろうね。

名無し隊員さん
どちらかというと、それが本当に一番密度が大きくなる詰め方なのかい、という事を確かめる問題だよね。ケプラー問題とかは。
経験的に分かっていることでも論理的に正しい事を証明するのはとっても難しいよね。静電気とか摩擦力とか。
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